连续和一致连续的区别

连续和一致连续是不同的概念。连续函数是一种较弱的性质，只要求在每个点上都连续，而一致连续函数则是一种较强的性质，要求在整个定义域上都连续。

连续和一致连续的区别

一致连续（uniformcontinuity）和连续（continuity）是数学中两个相关但有区别的概念。

连续是指函数在某个区间内的每一点都存在极限，并且函数在该区间内没有跳跃或断裂。简而言之，连续函数在局部上没有间断的部分。数学上，如果对于函数f（x）和给定的x值，在x的领域内，对于任意给定的epsilon（ε），存在delta（δ），使得在距离x不超过delta（|x-y|≤δ）的所有y值上，f（y）和f（x）之间的差值不超过epsilon（|f（y）-f（x）|≤ε），那么函数f（x）在x处是连续的。

一致连续是连续的加强版，它在连续的基础上要求函数的整个定义域上都具有一致的性质。简而言之，一致连续函数在整个定义域上不存在局部间断的部分。数学上，如果对于函数f（x），存在一个delta（δ），使得对于定义域上的任意x和y值，在距离不超过delta的所有点对（x,y），都有|f（y）-f（x）|≤ε，那么函数f（x）可以称为一致连续。

总结起来，连续性表达的是函数在每个点上的无间断性，而一致连续性则表达的是函数在整个定义域上的无间断性。

连续和一致连续的区别主要有三点：

1.范围不同：连续是局部性质，一般只对单点，而一致连续是整体性质，要对定义域上的某个子集。

2.连续性不同：一致连续的函数必连续，连续的未必一致连续。如果一个函数具有一致连续性则一定具有连续性，而函数具有连续性并不一定具有一致连续性。

3.图像区别：闭区间上连续的函数必一致连续，所以在闭区间上来讲二者是一致的；在开区间连续的未必一致连续，一致连续的函数图像不存在上升或者下降的坡度无限变陡的情况，连续的却有可能出现，比如在（0,1）上连续的函数y=1/x。

一致连续函数一定连续吗

一致连续函数不一定连续。

首先，我们需要明确什么是一致连续函数。一致连续函数是指对于任意给定的正数ε，存在一个正数δ，使得只要函数f（x）在区间[a,b]上的任意两点之间的距离小于δ，那么这两点之间的函数值之差就小于ε。

接下来，我们证明一致连续函数不一定连续。

假设函数f（x）在区间[a,b]上是一致连续的，但是不连续。那么在区间[a,b]上一定存在一个点c，使得f（c）不存在或者f（c）不等于函数值。

现在，我们取一个足够小的正数ε，使得2ε小于函数在点c处的不连续性。也就是说，存在一个正数δ，使得只要x和c之间的距离小于δ，那么f（x）和f（c）之间的差值就大于ε。

但是，由于f（x）在区间[a,b]上是一致连续的，存在一个正数η，使得只要x和c之间的距离小于η，那么f（x）和f（c）之间的差值就小于ε。

这就产生了矛盾，因为我们已经找到了一个正数δ满足条件，但是这个条件与f（x）在区间[a,b]上的一致连续性矛盾。因此，假设不成立，一致连续函数一定是连续的。

综上所述，一致连续函数不一定连续。

一致连续一定可导吗

一致连续的函数未必可导。

连续的函数不一定可导；可导的函数是连续的函数；越是高阶可导函数曲线越是光滑；存在处处连续但处处不可导的函数。

左导数和右导数存在且“相等”，才是函数在该点可导的充要条件，不是左极限=右极限（左右极限都存在）。连续是函数的取值，可导是函数的变化率，当然可导是更高一个层次。

导数也叫导函数值：

当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'（x0）或df（x0）/dx。

导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。

导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。

对于可导的函数f（x），x?f'（x）也是一个函数，称作f（x）的导函数（简称导数）。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分。微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。